(a+b)² এর সূত্রটা মনে আছে? আছে। এখন (a−b)³ এর সূত্রটা?
অনেকে এখানে থমকে যায়, অথচ দ্বিতীয়টা প্রথমটা থেকেই বের করা সম্ভব। বীজগণিতের বেশিরভাগ সূত্র গুটিকয় মূল সূত্রের সম্প্রসারণ মাত্র। সবগুলো আলাদা মুখস্থ না করে সম্পর্কটা ধরতে পারলে অনেক কম মনে রাখতে হয়।
মূল সূত্রগুলো পাশাপাশি রাখলে
| সূত্র | বিস্তৃত রূপ |
|---|---|
| (a+b)² | a² + 2ab + b² |
| (a−b)² | a² − 2ab + b² |
| a² − b² | (a+b)(a−b) |
| (a+b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| (a−b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| a³ + b³ | (a+b)(a² − ab + b²) |
| a³ − b³ | (a−b)(a² + ab + b²) |
যোগ আর বিয়োগের জোড়াগুলো পাশাপাশি দেখো। পার্থক্য শুধু চিহ্নে — বিয়োগ থাকলে পদে পদে চিহ্ন পাল্টায়, যোগ থাকলে সব যোগ থাকে। এই একটা পর্যবেক্ষণেই সাতটা সূত্র কার্যত তিনটে হয়ে যায়।
একটা থেকে আরেকটা বের করা
ধরো a² + b² এর সূত্রটা ভুলে গেছ। কিন্তু (a+b)² মনে আছে।
(a+b)² = a² + 2ab + b²। এখান থেকে শুধু 2ab সরিয়ে দাও —
a² + b² = (a+b)² − 2ab
একইভাবে (a−b)² থেকে বের করলে পাবে a² + b² = (a−b)² + 2ab।
এই সম্পর্কটা তখন সবচেয়ে কাজে লাগে যখন প্রশ্নে সরাসরি a+b আর ab-এর মান দেওয়া থাকে, a²+b² চাওয়া হয়। সূত্র হুবহু মনে না থাকলেও, মূল সূত্র থেকে মুহূর্তে বের করে ফেলা যায় — এটাই আসলে গণিতে মুখস্থের চেয়ে ভালো বিমা।
উৎপাদক বিশ্লেষণে যেখানে হাত থেমে যায়
a² − b² = (a+b)(a−b) — সবাই জানে। সমস্যা হয় প্রয়োগে।
x² − 9 দেখে অনেকে দ্বিধায় পড়ে, কারণ 9-কে বর্গ হিসেবে চিনতে পারে না। অথচ 9 = 3², তাই এটা সরাসরি a² − b² প্যাটার্নের — x² − 9 = (x+3)(x−3)।
মাঝের পদ না থাকাটা এখানে সমস্যা নয়, বরং ইঙ্গিত। a² − b² প্যাটার্নে মাঝের পদ থাকারই কথা না।
সরলীকরণে যে চিহ্নটা হারিয়ে যায়
2a + 3(a − b) − (2a − b) সরল করলে দেখা যাক কী হয় —
= 2a + 3a − 3b − 2a + b
= 3a − 2b
বন্ধনীর সামনে ঋণাত্মক চিহ্ন থাকলে ভেতরের প্রতিটা পদের চিহ্ন উল্টে যায়। −(2a − b) মানে −2a + b, শুধু −2a নয়। এই একটা নিয়ম ভুলে গেলে পুরো সরলীকরণ ভেঙে পড়ে, যদিও প্রতিটা আলাদা পদ যোগ-বিয়োগ ঠিকঠাক করা হয়।
সূচকের কয়েকটা নিয়ম যা ঝটপট মনে রাখা যায়
গুণে ঘাত যোগ হয় (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ), ভাগে ঘাত বিয়োগ হয় (aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ), ঘাতের ঘাত গুণ হয় ((aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ)। আর a⁰ সবসময় ১, a যাই হোক (শূন্য ছাড়া) — এটা অনেকের কাছে অদ্ভুত লাগে, যুক্তি খোঁজার দরকার নেই, শুধু মনে রেখে দাও।
এখন x² − 49 নিজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করো। তারপর একই পদ্ধতিতে a³ − 8-ও করে দেখো — 8-কে 2³ হিসেবে চিনতে পারলেই বাকিটা টেবিলের তৃতীয় সারির মতোই।