একাদশ শ্রেণির প্রথম পরীক্ষার খাতা ফেরত পাওয়ার পর অনেকেরই একই প্রশ্ন — “সব তো পারলাম, নম্বর কম কেন?”
উচ্চতর গণিতে এই ব্যাপারটা খুব সাধারণ। উত্তর ঠিক আছে, অথচ পুরো নম্বর আসেনি। কারণ এই বিষয়ে শুধু উত্তরের নম্বর নয়, প্রতিটা ধাপেরও নম্বর আছে। কোন ধাপে কী লিখতে হয় সেটা জানা না থাকলে ঠিক উত্তর দিয়েও অর্ধেক নম্বর হারানো যায়।
নিচে অধ্যায় ধরে কী চাওয়া হয় সেটা আছে, একটা অঙ্ক পুরোটা করে দেখানো আছে, আর শেষে ভুলগুলোর তালিকা।
কোন অধ্যায়ে আসলে কী চাওয়া হয়
১. ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক — নির্ণায়কের মান নির্ণয়, বিপরীত ম্যাট্রিক্স, আর ম্যাট্রিক্স দিয়ে সমীকরণ জোট সমাধান। ধাপ নির্দিষ্ট, তাই নিয়ম মানলে নম্বর নিশ্চিত।
২. ভেক্টর — স্কেলার ও ভেক্টর গুণজ, দুই ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ, লম্ব ও সমান্তরাল হওয়ার শর্ত।
৩. সরলরেখা — রেখার সমীকরণ নির্ণয়, দুই রেখার ছেদবিন্দু, বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব।
৪. বৃত্ত — কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়, স্পর্শকের সমীকরণ, দুই বৃত্তের পারস্পরিক অবস্থান।
৫. বিন্যাস ও সমাবেশ — শর্তসাপেক্ষ বিন্যাস, নির্দিষ্ট বস্তু একসাথে বা আলাদা রাখার সমস্যা। এখানে সূত্র নয়, প্রশ্ন পড়ে বোঝাটাই মূল কাজ।
৬ ও ৭. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং সংযুক্ত কোণ — অভেদ প্রমাণ, মান নির্ণয়, রূপান্তর। প্রমাণের অঙ্কে বাঁ পাশ থেকে শুরু করে ডান পাশে পৌঁছানোর নিয়মটা মানতে হয়।
৮. ফাংশন ও লেখচিত্র — ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়, ফাংশন এক-এক কিনা যাচাই, লেখচিত্র অঙ্কন।
৯. অন্তরীকরণ — প্রথম নীতিতে অন্তরীকরণ, শৃঙ্খল নিয়ম, ঢাল ও স্পর্শক, চরম ও অবম মান।
১০. সমাকলন — অনির্দিষ্ট ও নির্দিষ্ট সমাকল, প্রতিস্থাপন পদ্ধতি, ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
একটা অঙ্ক পুরোটা করে দেখাই
প্রথম নীতিতে অন্তরীকরণের একটা নিই। এই ধরনের প্রশ্ন প্রায় প্রতি বছরই আসে, আর অনেকে সরাসরি সূত্র বসিয়ে দেয় বলে নম্বর হারায় — প্রশ্নে যখন “প্রথম নীতি” লেখা থাকে, তখন সংজ্ঞা থেকেই শুরু করতে হয়।
প্রশ্ন: প্রথম নীতির সাহায্যে √x-এর অন্তরজ নির্ণয় করো।
ধাপ ১ — সংজ্ঞাটা লিখে নাও। ধরি f(x) = √x। প্রথম নীতি অনুসারে
f′(x) = limh→0 [ f(x + h) − f(x) ] ⁄ h
এই লাইনটা না লিখলে “প্রথম নীতি” অংশের নম্বরটাই পাওয়া যায় না।
ধাপ ২ — মান বসাই।
f′(x) = limh→0 [ √(x + h) − √x ] ⁄ h
এখানে সরাসরি h = 0 বসালে 0⁄0 আসে, তাই আকারটা বদলাতে হবে।
ধাপ ৩ — অনুবন্ধী দিয়ে গুণ করি। লব ও হর উভয়কে [√(x + h) + √x] দিয়ে গুণ করি।
লব হয়: [√(x + h) − √x][√(x + h) + √x] = (x + h) − x = h
সুতরাং রাশিটি দাঁড়ায় h ⁄ { h [√(x + h) + √x] }
ধাপ ৪ — h কেটে দিই। যেহেতু h → 0, কিন্তু h ≠ 0, তাই h কাটা যায়।
f′(x) = limh→0 1 ⁄ [√(x + h) + √x]
ধাপ ৫ — সীমা বসাই। এখন h = 0 বসালে কোনো সমস্যা নেই।
f′(x) = 1 ⁄ (√x + √x) = 1 ⁄ (2√x)
খেয়াল করো, আসল কাজটা হয়েছে ধাপ ৩-এ। 0⁄0 আকার এলে সরাসরি সীমা বসানো যায় না — আগে রাশিটাকে এমন চেহারায় আনতে হয় যেখানে হর থেকে h কেটে যায়। প্রথম নীতির প্রায় সব অঙ্কই এই এক কৌশলে চলে: অনুবন্ধী দিয়ে গুণ, উৎপাদকে বিশ্লেষণ, বা পরিচিত কোনো সীমার রূপে নিয়ে আসা।
ধাপ ৪-এর ছোট কথাটা বাদ দিও না — “h ≠ 0 বলে কাটা গেল”। এক লাইনের ব্যাপার, কিন্তু এটাই দেখায় তুমি সীমার ধারণাটা বুঝেছো।
যেসব ভুলে নম্বর কাটা যায়
প্রথম নীতির প্রশ্নে সূত্র বসিয়ে দেওয়া। প্রশ্নে “প্রথম নীতি” লেখা থাকলে সংজ্ঞা থেকে শুরু করতেই হবে। সরাসরি সূত্র লিখলে উত্তর ঠিক হলেও পদ্ধতির নম্বর যায় না।
ত্রিকোণমিতিক প্রমাণে দুই পাশ থেকে কাজ করা। এক পাশ ধরে শুরু করে অন্য পাশে পৌঁছাতে হয়। দুই পাশ মিলিয়ে দেখানো প্রমাণ হিসেবে গ্রহণযোগ্য নয়।
ডোমেন-রেঞ্জে শর্ত না লেখা। মূলদ ফাংশনে হর শূন্য হতে পারে না, বর্গমূলে ভেতরের রাশি ঋণাত্মক হতে পারে না — এই শর্তগুলো লিখতে হয়।
নির্দিষ্ট সমাকলে সীমা বসানোর ধাপ বাদ দেওয়া। সমাকলন করার পর উপরের সীমার মান থেকে নিচের সীমার মান বিয়োগ — এই ধাপটা লিখে দেখাতে হয়।
লেখচিত্রে অক্ষ ও স্কেল না লেখা। ফাংশনের লেখচিত্র চাইলে অক্ষ চিহ্নিত করা আর গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু দেখানো — দুটোই নম্বরের অংশ।
কোথা থেকে শুরু করবে
১ম পত্রের অধ্যায়গুলো একটার ওপর আরেকটা দাঁড়ানো, তাই বইয়ের ক্রম ভাঙার দরকার নেই। শুধু দুটো কথা মনে রেখো।
ফাংশনের অধ্যায়টা ভালো করে না বুঝে অন্তরীকরণে যেও না। ফাংশন না বুঝে অন্তরীকরণ করলে সেটা শুধু সূত্র প্রয়োগ হয়ে দাঁড়ায়, আর একটু অন্যরকম প্রশ্ন এলেই আটকে যায়।
আর সরলরেখা ও বৃত্ত মন দিয়ে করো। ২য় পত্রের কণিক অধ্যায়টা পুরোপুরি এদের ওপর দাঁড়িয়ে আছে — এখানে ভিত শক্ত হলে ওখানে অর্ধেক পরিশ্রম বাঁচে।
মূল বইটা হাতে না থাকলে এখান থেকে নামিয়ে নিতে পারো।
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র বই PDF ডাউনলোড
শেষে একটা কথা। উপরের সমাধানটা পড়ে যদি মনে হয় “বুঝেছি”, তাহলে এখনই খাতা বন্ধ করে √(x + 2)-এর অন্তরজ প্রথম নীতিতে বের করার চেষ্টা করো। পারলে সত্যিই বুঝেছো। না পারলে আবার ধাপ ৩-এ ফিরে যাও — ওখানেই আসল কৌশলটা আছে।