পড়া শেষ হয়েছে কিনা বোঝার একটাই উপায় — বই বন্ধ করে পরীক্ষা দেওয়া। বই খুলে অঙ্ক করলে সবসময়ই মনে হয় পারছি, কারণ পাশেই সূত্রটা আছে। আসল অবস্থাটা বোঝা যায় যখন কিছুই সামনে থাকে না।
নিচের মডেল টেস্টটা সেই কাজের জন্য। উত্তর একদম শেষে আলাদা করে দেওয়া আছে।
পরীক্ষার নিয়ম
ঘড়ি ধরে বসো। বহুনির্বাচনি অংশের জন্য ১০ মিনিট, সৃজনশীল অংশের জন্য ৫০ মিনিট রাখো।
বই, নোট, ক্যালকুলেটরের সূত্র তালিকা — কিছুই সামনে রেখো না। আটকে গেলে দাগ দিয়ে পরেরটায় যাও, শেষে ফিরে এসো। আর সময় শেষ হলে থেমে যাও, তারপর যা পারোনি সেটাও আলাদা রঙে চেষ্টা করে দেখো — কতটা সময়ের অভাবে হয়নি আর কতটা না জানার কারণে, সেটা বোঝা দরকার।
নম্বর বিভাজন তোমার পরীক্ষার বছর অনুযায়ী আলাদা হতে পারে, তাই এখানে শুধু প্রশ্নের কাঠামোটা রাখা হয়েছে। বোর্ডের বিজ্ঞপ্তি দেখে নিজের মতো সময় ও নম্বর মিলিয়ে নিও।
ক-বিভাগ: বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
১. ω এককের একটি জটিল ঘনমূল হলে ω³-এর মান কত?
(ক) 0 (খ) 1 (গ) −1 (ঘ) ω
২. |3 + 4i| এর মান কত?
(ক) 3 (খ) 4 (গ) 5 (ঘ) 7
৩. (1 + x)ⁿ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কত?
(ক) n (খ) n + 1 (গ) n − 1 (ঘ) 2n
৪. y² = 4ax পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?
(ক) (0, a) (খ) (a, 0) (গ) (−a, 0) (ঘ) (0, 0)
৫. x²/25 + y²/9 = 1 উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা কত?
(ক) 3/5 (খ) 4/5 (গ) 5/4 (ঘ) 9/25
৬. sin⁻¹(1/2) এর মুখ্য মান কত?
(ক) π/6 (খ) π/4 (গ) π/3 (ঘ) π/2
৭. |x| < 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
(ক) x < 3 (খ) x > −3 (গ) −3 < x < 3 (ঘ) x < −3 অথবা x > 3
৮. একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে তিনবারই হেড পড়ার সম্ভাবনা কত?
(ক) 1/2 (খ) 1/4 (গ) 1/6 (ঘ) 1/8
৯. পরিমিত ব্যবধানের বর্গকে কী বলা হয়?
(ক) গড় ব্যবধান (খ) ভেদাঙ্ক (গ) পরিসর (ঘ) মধ্যক
১০. ax² + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α + β এর মান কত?
(ক) b/a (খ) −b/a (গ) c/a (ঘ) −c/a
খ-বিভাগ: সৃজনশীল প্রশ্ন
প্রশ্ন ১
ω এককের একটি জটিল ঘনমূল এবং z = 1 + i√3।
(ক) এককের ঘনমূল কয়টি এবং সেগুলো কী কী?
(খ) z এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় করো।
(গ) প্রমাণ করো যে (1 − ω + ω²)(1 + ω − ω²) = 4
প্রশ্ন ২
একটি দ্বিপদী রাশি (x² + 1/x)⁹।
(ক) দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদের সূত্রটি লেখো।
(খ) উপরের বিস্তৃতিতে x-মুক্ত পদটি নির্ণয় করো।
(গ) বিস্তৃতিটির ৪র্থ পদের সহগ নির্ণয় করো।
প্রশ্ন ৩
একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ y² = 12x।
(ক) পরাবৃত্তের সংজ্ঞা দাও।
(খ) পরাবৃত্তটির শীর্ষ, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় করো।
(গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো এবং পরাবৃত্তটির একটি স্থূল চিত্র আঁকো।
প্রশ্ন ৪
দুটি নিরপেক্ষ ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো।
(ক) নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?
(খ) প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল ৮ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
(গ) যোগফল ৭-এর বেশি হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
ক-বিভাগের উত্তর
১ — (খ) 1। সংজ্ঞা অনুসারেই ω হলো x³ = 1 সমীকরণের মূল।
২ — (গ) 5। |a + bi| = √(a² + b²) = √(9 + 16) = 5।
৩ — (খ) n + 1। r = 0 থেকে r = n পর্যন্ত, অর্থাৎ মোট n + 1টি পদ।
৪ — (খ) (a, 0)। আদর্শ রূপ y² = 4ax হলে উপকেন্দ্র x-অক্ষের ওপর।
৫ — (খ) 4/5। a² = 25, b² = 9, e = √(1 − b²/a²) = √(1 − 9/25) = 4/5। মনে রেখো উপবৃত্তে সবসময় e < 1।
৬ — (ক) π/6। sin(π/6) = 1/2, আর মুখ্য মান −π/2 থেকে π/2 এর মধ্যে থাকে।
৭ — (গ) −3 < x < 3। |x| < a মানে −a < x < a। উল্টোদিকে |x| > a হলে সমাধান দুই টুকরো হয়ে যায়।
৮ — (ঘ) 1/8। প্রতিবার হেডের সম্ভাবনা 1/2, তিনবার স্বাধীন ঘটনা, তাই (1/2)³।
৯ — (খ) ভেদাঙ্ক।
১০ — (খ) −b/a। গুণফল হয় c/a — দুটো গুলিয়ে ফেলা খুব সাধারণ ভুল।
খ-বিভাগের সমাধানের ইঙ্গিত
প্রশ্ন ১
(ক) তিনটি: 1, ω এবং ω², যেখানে ω = (−1 + i√3)⁄2।
(খ) |z| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2। আর্গুমেন্ট θ = tan⁻¹(√3⁄1) = π/3। z প্রথম চতুর্ভাগে আছে, তাই সরাসরি এই মানই আর্গুমেন্ট।
(গ) 1 + ω + ω² = 0 ব্যবহার করো। এখান থেকে 1 + ω² = −ω এবং 1 + ω = −ω²। সুতরাং প্রথম বন্ধনী = −ω − ω = −2ω এবং দ্বিতীয় বন্ধনী = −ω² − ω² = −2ω²। গুণফল = 4ω³ = 4।
প্রশ্ন ২
(ক) সাধারণ পদ T₍ᵣ₊₁₎ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ।
(খ) এখানে T₍ᵣ₊₁₎ = ⁹Cᵣ (x²)⁹⁻ʳ (1/x)ʳ = ⁹Cᵣ x^(18−3r)। x-মুক্ত হতে হলে 18 − 3r = 0, অর্থাৎ r = 6। সুতরাং পদটি ⁹C₆ = 84।
(গ) ৪র্থ পদে r = 3, তাই সহগ ⁹C₃ = 84। লক্ষ্য করো ⁹C₃ ও ⁹C₆ সমান — ⁿCᵣ = ⁿC₍ₙ₋ᵣ₎ ধর্মের কারণে।
প্রশ্ন ৩
(খ) y² = 4ax এর সাথে মিলিয়ে 4a = 12, অর্থাৎ a = 3। শীর্ষ (0, 0), উপকেন্দ্র (3, 0), নিয়ামকের সমীকরণ x = −3।
(গ) উপকেন্দ্রিক লম্ব = 4a = 12। চিত্রে অক্ষ, শীর্ষ, উপকেন্দ্র ও নিয়ামক — চারটিই চিহ্নিত করতে হবে, নাহলে নম্বর কাটা যায়।
প্রশ্ন ৪
(খ) মোট সম্ভাব্য ফলাফল 6 × 6 = 36। যোগফল ৮ হয় (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — মোট ৫টি উপায়ে। সম্ভাবনা = 5/36।
(গ) যোগফল ৭-এর বেশি মানে ৮, ৯, ১০, ১১ বা ১২। উপায় যথাক্রমে ৫, ৪, ৩, ২, ১ — মোট ১৫টি। সম্ভাবনা = 15/36 = 5/12। নমুনাক্ষেত্রটা লিখে দেখালে ধাপের নম্বর পাওয়া যায়।
ফলাফল থেকে যা বুঝবে
কোন প্রশ্নে আটকেছো সেটা যতটা গুরুত্বপূর্ণ, কেন আটকেছো সেটা তার চেয়েও বেশি।
সূত্র মনে পড়েনি — সূত্রের তালিকা আলাদা খাতায় লিখে প্রতিদিন একবার চোখ বোলাও।
সূত্র জানা ছিল, কিন্তু কোনটা লাগবে বুঝিনি — এটাই সবচেয়ে সাধারণ সমস্যা, আর সমাধান একটাই: বেশি অঙ্ক করা। বই থেকে প্রতি ধরনের একটা করে অঙ্ক করো।
হিসাবে ভুল — তাড়াহুড়ো। ধাপগুলো একটু বড় করে লেখো, মনে মনে দুই ধাপ একসাথে কোরো না।
সময়ে কুলায়নি — জানা প্রশ্ন আগে করার অভ্যাস করো। প্রশ্নপত্র হাতে পেয়ে প্রথম দুই মিনিট পুরোটা পড়ে নাও, তারপর ঠিক করো কোনটা আগে ধরবে।
এরপর কী
ভুল হওয়া অধ্যায়গুলো আবার পড়ার জন্য নিচের লেখাগুলো কাজে লাগবে।
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র সমাধান — অধ্যায়ভিত্তিক প্রশ্ন ও সমাধান
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র সাজেশন — গুরুত্বপূর্ণ টপিক
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র বই PDF ডাউনলোড
আর একটা কথা — একবার মডেল টেস্ট দিয়ে খারাপ করলে হতাশ হওয়ার কিছু নেই। মডেল টেস্টের কাজই তো দুর্বলতা খুঁজে বের করা। পরীক্ষার হলে গিয়ে সেটা জানার চেয়ে আজ জানা অনেক ভালো।