উচ্চতর গণিতের এই দুই অধ্যায় নিয়ে শিক্ষার্থীরা দুটো আলাদা তালিকা মুখস্থ করে। একটা অন্তরীকরণের, আরেকটা সমাকলনের।
দরকার নেই। দুটো তালিকা আসলে একই তালিকা, উল্টো দিক থেকে পড়া।
sin x-এর অন্তরজ cos x। তার মানে cos x-এর সমাকল sin x। একটা জানলে অন্যটা এমনিতেই আসে। এই আয়নার সম্পর্কটা ধরে ফেললে মুখস্থের বোঝা অর্ধেক হয়ে যায়।
অন্তরীকরণ হলো কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের হার নির্ণয়, আর সমাকলন তার বিপরীত প্রক্রিয়া — অন্তরজ থেকে মূল ফাংশনে ফিরে যাওয়া।
জোড়া ধরে সূত্র
| ফাংশন | অন্তরজ | উল্টো দিকে: সমাকল |
|---|---|---|
| xn | n·xn−1 | xn+1/(n+1) + c |
| ex | ex | ex + c |
| ln x | 1/x | — |
| sin x | cos x | −cos x + c |
| cos x | −sin x | sin x + c |
| tan x | sec²x | — |
| sec²x | — | tan x + c |
| cot x | −cosec²x | — |
| sec x | sec x·tan x | — |
| 1/x | — | ln|x| + c |
| 1/(1+x²) | — | tan⁻¹x + c |
| 1/√(1−x²) | — | sin⁻¹x + c |
একটা সহজ ইঙ্গিত — যেসব ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের নাম “co” দিয়ে শুরু (cos, cot, cosec), অন্তরীকরণে তাদের সামনে ঋণাত্মক চিহ্ন বসে। সমাকলনে ঠিক উল্টো।
এই উল্টো চিহ্নটাই সবচেয়ে বেশি নম্বর খায়। sin-এর অন্তরজ cos, কিন্তু sin-এর সমাকল −cos। মনে রাখার উপায় — সমাকলন উল্টো পথে হাঁটে, তাই চিহ্নও উল্টো।
যে তিনটে নিয়ম না জানলে চলে না
গুণের নিয়ম: (uv)′ = u′v + uv′
ভাগের নিয়ম: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v²
ভাগের নিয়মে লবের ক্রম উল্টে ফেলা খুব সাধারণ ভুল, আর চিহ্ন বিয়োগ বলে উল্টালে উত্তরও উল্টো হয়ে যায়। মনে রাখো — উপরেরটার অন্তরজ আগে বসে।
চেইন রুল: y = f(g(x)) হলে dy/dx = f′(g(x)) · g′(x)
চেইন রুল নিয়ে একটু বেশি কথা
কারণ এখানেই সবচেয়ে বেশি নম্বর যায়।
sin(3x)-এর অন্তরজ কত? অনেকে লেখে cos(3x)। ভুল। সঠিক উত্তর 3cos(3x)।
বাইরের ফাংশনের অন্তরজ নিলে হয় cos(3x), তারপর ভেতরের ফাংশন 3x-এর অন্তরজ 3 দিয়ে গুণ করতে হয়। ওই ৩-টা ভুলে যাওয়া মানে পুরো অঙ্কটা ভুল।
নিয়মটা মনে রাখার সহজ উপায় — খোসা ছাড়ানোর মতো। বাইরের স্তর আগে, তারপর ভেতরের স্তর, আর প্রতিটা স্তরের অন্তরজ গুণ হতে থাকে।
সমাকলনের কৌশল
প্রতিস্থাপন। ভেতরে জটিল কিছু থাকলে তাকে u ধরে নাও। বিশেষ করে ∫f(g(x))·g′(x)dx আকারের হলে — অর্থাৎ ভেতরের ফাংশনের অন্তরজ যদি বাইরে গুণ হিসেবে বসে থাকে, তাহলে প্রতিস্থাপন নিশ্চিতভাবে কাজ করবে।
খণ্ডায়ন। ∫u dv = uv − ∫v du
কোনটাকে u ধরবে? LIATE ক্রম মনে রাখো — Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential। এই তালিকায় যেটা আগে আছে, সেটাই u।
যেমন ∫x·exdx-এ x হলো Algebraic আর ex হলো Exponential। A আগে E-র, তাই u = x।
আংশিক ভগ্নাংশ। হর যদি গুণনীয়কে ভাঙা যায়, ভগ্নাংশটাকে ছোট ছোট ভগ্নাংশে ভেঙে আলাদা করে সমাকলন করো।
সেই + c
অনির্দিষ্ট সমাকলনে + c লিখতে ভুলো না। যুক্তিটা সরল — ধ্রুবকের অন্তরজ শূন্য, তাই উল্টো পথে ফিরলে কোন ধ্রুবক ছিল তা জানার উপায় নেই। সেই অজানা ধ্রুবকটাই c।
নির্দিষ্ট সমাকলনে c লাগে না, কারণ বিয়োগ করার সময় কেটে যায়।
নির্দিষ্ট সমাকলন ও ক্ষেত্রফল
∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
উপরের সীমা আগে, নিচেরটা পরে — উল্টো করলে উত্তরের চিহ্ন উল্টে যাবে।
এর সবচেয়ে চেনা প্রয়োগ ক্ষেত্রফল নির্ণয়। বক্ররেখা আর x-অক্ষের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল = ∫ab y dx। এখানে একটা সতর্কতা — বক্ররেখা যদি x-অক্ষের নিচে থাকে, সমাকল ঋণাত্মক আসবে। ক্ষেত্রফল ঋণাত্মক হয় না, তাই পরম মান নিতে হয়।
যেভাবে অনুশীলন করলে কাজ হয়
সূত্র মুখস্থ করে বসে থাকলে পরীক্ষায় কাজে লাগবে না, কারণ একই সূত্র নানা মোড়কে আসে। বরং একটা কাজ করো — অন্তরীকরণ আর সমাকলনের টেবিল দুটো পাশাপাশি রেখে পড়ো, জোড়া ধরে।
তারপর প্রতিটা সূত্রের অন্তত পাঁচটা করে প্রয়োগ করো, যেখানে ভেতরে 3x বা x² বসানো আছে — চেইন রুল খাটানোর অভ্যাস তৈরি হবে।
পরীক্ষার আগের রাতে শুধু দুটো জিনিস দেখলেই যথেষ্ট: জোড়া-সূত্রের টেবিল, আর চেইন রুল-খণ্ডায়ন-প্রতিস্থাপনের নিয়ম তিনটে।