নদী-নৌকা অঙ্কে সবচেয়ে বেশি ভুল হয় একটা জায়গায় — নৌকা যেদিকে মুখ করে চালানো হচ্ছে, সেই দিকে ভেসে যাওয়ার দূরত্ব হিসাব করা শুরু করে দেওয়া। আসলে নদী পার হওয়ার সময় আর ভেসে যাওয়ার দূরত্ব — এই দুটো আলাদা হিসাব, একসাথে গুলিয়ে ফেলা যাবে না।
ভেক্টরের মূল সূত্রগুলো — লব্ধি, ডট গুণন, ক্রস গুণন — HSC Physics ১ম পত্র সূত্র তালিকায় আছে। এই লেখায় সেই সূত্রগুলো কীভাবে বোর্ডের আসল অঙ্কে প্রয়োগ হয়, সেটাই তিনটে সমাধান করা উদাহরণ দিয়ে দেখানো হলো।
সমাধান ১: নদী-নৌকা অঙ্ক
প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটা নৌকার বেগ ৫ কিমি/ঘণ্টা। একটা নদী ১ কিমি চওড়া, স্রোতের বেগ ৩ কিমি/ঘণ্টা। নৌকা যদি তীরের ঠিক লম্বভাবে মুখ করে চালানো হয়, তাহলে (ক) নদী পার হতে কত সময় লাগবে, (খ) স্রোতের টানে কতদূর ভেসে যাবে, আর (গ) নৌকার লব্ধি বেগ কত?
সমাধান: নৌকা লম্বভাবে চালানো হচ্ছে বলে নদী পার হওয়ার গতি শুধু নৌকার নিজের বেগের উপর নির্ভর করে, স্রোতের উপর নয় — স্রোত শুধু পাশে ঠেলে দেয়, পার হওয়ার গতি কমায় না।
(ক) সময় = দূরত্ব / বেগ = ১ / ৫ = ০.২ ঘণ্টা = ১২ মিনিট।
(খ) ভেসে যাওয়া দূরত্ব = স্রোতের বেগ × সময় = ৩ × ০.২ = ০.৬ কিমি।
(গ) লব্ধি বেগ = √(৫² + ৩²) = √৩৪ ≈ ৫.৮৩ কিমি/ঘণ্টা, স্রোতের দিক থেকে কোণ tan⁻¹(৩/৫) ≈ ৩১°।
এই অঙ্কে (ক) আর (খ) দুটো সম্পূর্ণ আলাদা হিসাব — একটা সময় বের করছে নৌকার নিজের বেগ দিয়ে, আরেকটা দূরত্ব বের করছে স্রোতের বেগ দিয়ে। দুটো বেগ একসাথে যোগ করে একটাতেই সবকিছু বের করার চেষ্টা করলে উত্তর ভুল হয়ে যায়।
সমাধান ২: দুটো ভেক্টরের লব্ধি
প্রশ্ন: দুটো বল ৪ নিউটন আর ৩ নিউটন, তাদের মধ্যবর্তী কোণ ৬০°। লব্ধি বল আর তার দিক নির্ণয় করো।
সমাধান: R = √(P² + Q² + 2PQ cosθ) = √(৪² + ৩² + ২×৪×৩×cos৬০°) = √(১৬ + ৯ + ২৪×০.৫) = √৩৭ ≈ ৬.০৮ নিউটন।
দিক: tanα = Q sinθ / (P + Q cosθ) = ৩×sin৬০° / (৪ + ৩×cos৬০°) = (৩×০.৮৬৬) / (৪+১.৫) = ২.৬/৫.৫ ≈ ০.৪৭২, α ≈ ২৫.৩°, P ভেক্টরের দিক থেকে।
এখানে cos৬০° = ০.৫ আর sin৬০° ≈ ০.৮৬৬ — এই দুটো মান মুখস্থ না থাকলে পুরো অঙ্কটাই আটকে যায়, তাই ৩০°, ৪৫°, ৬০°, ৯০°-এর sin-cos মান আগে থেকে মুখস্থ রাখা জরুরি।
সমাধান ৩: ডট ও ক্রস গুণন একসাথে দেখা
প্রশ্ন: দুটো ভেক্টর ৪ একক আর ৩ একক, পরস্পর লম্ব। তাদের ডট গুণন আর ক্রস গুণনের মান বের করো।
সমাধান: লম্ব মানে কোণ ৯০°।
ডট গুণন: A·B = AB cosθ = ৪×৩×cos৯০° = ৪×৩×০ = ০।
ক্রস গুণন: |A×B| = AB sinθ = ৪×৩×sin৯০° = ৪×৩×১ = ১২ একক।
এই ফলাফলটা শুধু অঙ্ক নয়, একটা ধারণাও বহন করে। দুটো ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণন সবসময় শূন্য হবে — একটা ভেক্টরের অভিমুখে আরেকটার কোনো অংশ নেই বলে। আর ঠিক তখনই ক্রস গুণন হয় সবচেয়ে বেশি — দুটো ভেক্টর যত লম্ব হয়, তাদের তৈরি সমান্তরাল চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল তত বড় হয়।
বৃষ্টি-ছাতা অঙ্কের সংক্ষিপ্ত ধারণা
নদী-নৌকা অঙ্কের মতোই আরেকটা প্রচলিত ধরন হলো বৃষ্টি-ছাতা অঙ্ক — বৃষ্টি সোজা নিচে পড়ছে, কিন্তু হাঁটা মানুষের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপাত দিক (relative velocity) বদলে যায়। এখানেও একই ভুল হয় — মানুষের বেগ আর বৃষ্টির বেগ সরাসরি যোগ করে ফেলা, অথচ দরকার আপেক্ষিক বেগ, যেটা বের হয় ভেক্টর বিয়োগ করে (বৃষ্টির বেগ − মানুষের বেগ)।
নিজে সমাধান করো
একটা নদী ২ কিমি চওড়া, স্রোতের বেগ ৪ কিমি/ঘণ্টা, নৌকার নিজের বেগ ৬ কিমি/ঘণ্টা, তীরের লম্বভাবে চালানো হচ্ছে। নদী পার হতে কত সময় লাগবে, আর কতদূর ভেসে যাবে? “vector math solve river boat bangla” খুঁজে যত অঙ্কই দেখো, প্যাটার্নটা একই — পার হওয়ার সময় বের করো নৌকার বেগ দিয়ে, ভেসে যাওয়া দূরত্ব বের করো স্রোতের বেগ দিয়ে, দুটো আলাদা রাখো।